Большая советская энциклопедия - двойственности принцип

Двойственности принцип, принцип, формулируемый в некоторых разделах математики и заключающийся в том, что каждому верному утверждению этого раздела отвечает двойственное утверждение, которое может быть получено из первого путем замены входящих в него понятий на другие, т. н. двойственные им понятия. 1) Д. п. формулируется в проективной геометрии на плоскости. При этом двойственными понятиями являются, например, «точка» и «прямая», «точка лежит на прямой» и «прямая проходит через точку». Каждой аксиоме в проективной геометрии на плоскости формулируется двойственное предложение, которое может быть доказано с помощью этих же аксиом (этим обосновывается Д. п. в проективной геометрии на плоскости). Двойственными утверждениями в проективной геометрии на плоскости являются известные теоремы Паскаля и Брианшона. Первая из этих теорем утверждает, что во всяком шестивершиннике, вписанном в линию 2-го порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой (рис. 1). Вторая теорема утверждает, что во всяком шестистороннике, описанном около линии 2-го порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (рис. 2). 2) Д. п. в абстрактной теории множеств. Пусть дано множество М. Рассмотрим систему всех его подмножеств А, В, С и т.д. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества М, которая формулируется лишь в терминах операций суммы, пересечения и дополнения, то верна также и теорема, получающаяся на данной путем замены операции суммы и пересечения соответственно операциями пересечения и суммы, пустого множества L — всем множеством М, а множества М — пустым множеством L. При этом дополнение суммы заменяется пересечением дополнений, а дополнение пересечения — суммой дополнений. Пример 1. Верному соотношению (A E В)C С = (A C С) E (ВC С) двойственно соотношение (также верное) (АC B) E C = (A E С) C (В E С) Пример 2. Верному соотношению (AEB)E(AC`B) = M двойственно соотношение (также верное) (AC `B)C(АE В) = L , где A, `B — дополнения множеств А, В во множестве М, А C В — сумма множеств А и В, A C В— их пересечение. 3) Д. п. имеет место в математической логике (в исчислении высказываний и в исчислении предикатов). 4) О топологических законах двойственности см. Топология. Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947.